Question

12．在四边形ABD中，∠ACB=∠ACD=∠ABD=45°．
①求证：AB=AD；
②求证：BC+CD=$\sqrt{2}$AC．

Answer 1

分析 ①根据已知条件推出△CDF∽△BAF，由相似三角形的性质得到$\frac{CF}{BF}=\frac{DF}{AF}$，根据对顶角相等得到∠AFD=∠CFB．于是得到△AFD∽△CFB，求出∠ADB=∠ACB=45°，即可得到结论；
（2）延长CD到E使DE=BC，根据已知条件得到A，B，C，D四点共圆，由圆周角定理得到∠EDA=∠ABC，求得△ADE≌△ABC，根据全等三角形的性质得到∠EAD=∠CAB，AE=AC，求得∠EAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

解答 证明：①∵∠ACD=∠ABD=45°，∠CFD=∠BFA，
∴△CDF∽△BAF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{DF}{AF}$，
∵∠AFD=∠CFB．
∴△AFD∽△CFB，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，；

②延长CD到E使DE=BC，
∵∠ADB=∠ABD=45°，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠DAB=∠BCD=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDA=∠ABC，
在△ADE与△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABC}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠EAD=∠CAB，AE=AC，
∴∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵CE=DE+CD=CD+BC，
∴BC+CD=$\sqrt{2}$AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．