Question

17．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）若∠ABP=25°，求∠BPH的度数；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，由平行线的性质得出∠APB=∠PBC，得出∠APB=∠BPH，即可得出结果；
（2）过B作BQ⊥PH，垂足为Q；首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

解答 解：（1）∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP，
即∠PBC=∠BPH，
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∴∠APB=∠BPH，
∵∠ABP=25°，
∴∠APB=65°
∴∠BPH=65°．
（2）△PHD的周长不变，为定值8．理由如下：
过B作BQ⊥PH，垂足为Q；如图所示：
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠BPH}\\{∠A=∠BQP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=QB．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
在Rt△BCH和Rt△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BC=BQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．