Question

6．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 过点B作BD⊥AC于D，过点C作CE⊥AB于E．利用勾股定理求出AB、BC和AC的长度，进而求出BD的长度，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•CE，求出CE的长度，然后在Rt△BEC中，利用正弦函数的定义即可求出sin∠ABC的值．

解答 解：过点B作BD⊥AC于D，过点C作CE⊥AB于E．
根据题意，可知
AB=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{2}$，
即点D是AC的中点，
BD=2$\sqrt{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BD=AB•CE，
∴2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$×CE，
∴CE=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△BEC中，
sin∠ABC=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{4}{5}$，
故选D．

点评 本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．