Question

7．先化简，再求值．（$\frac{8}{x+1}$-x+1）÷$\frac{{x}^{2}+6x+9}{x+1}$，其中x的取值-3$\sqrt{2}$，-4，-$\sqrt{17}$，-（2$\sqrt{5}$-1）这四个实数中最小值．

Answer 1

分析 先将括号内通分，然后因式分解，再约分．

解答 解：原式=[$\frac{8}{x+1}$-$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$]•$\frac{x+1}{（x+3）^{2}}$
=$\frac{9-{x}^{2}}{x+1}$•$\frac{x+1}{（x+3）^{2}}$
=$\frac{（3-x）（3+x）}{x+1}$•$\frac{x+1}{（x+3）^{2}}$
=$\frac{3-x}{x+3}$；
∵-3$\sqrt{2}$=-$\sqrt{18}$，-4=-$\sqrt{16}$，-$\sqrt{17}$，-（2$\sqrt{5}$-1）=-$\sqrt{20}$+1，
∴-3$\sqrt{2}$最小，
当x=-3$\sqrt{2}$时，原式=$\frac{3+3\sqrt{2}}{-3\sqrt{2}+3}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$=$\frac{（1+\sqrt{2}）^{2}}{1-2}$=-（1+$\sqrt{2}$）²．

点评 本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键．