Question

19．如图，AB是⊙O的直径，且AB=2cm，点P为弧AB上一动点（不与A，B重合），$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点C．
（1）试证明AB∥CD；
（2）填空：
①当BP=1cm时，PD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$cm；
②当BP=$\sqrt{2}$cm时，四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明OD⊥CD，OD⊥AB即可解决问题；
（2）①作DE⊥AP于E，DF⊥PC于F．只要证明四边形PEDB是正方形，求出正方形的边长即可解决问题；
②当P是$\widehat{AB}$中点时，四边形ABCD是平行四边形；

解答 （1）证明：连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB∥CD．

（2）解：①作DE⊥AP于E，DF⊥PC于F．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠APD=∠DPB，
∴DE=DF，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠EPD=∠FPD=45°，易知四边形PEDF是正方形，
∵AD=BD，DE=DF，
∴Rt△DEA≌Rt△DFB，
∴AE=BF，
在Rt△PAB中，∵AB=2cm，PB=1cm，
∴PA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴PA+PB=PE+AE+PF-BF=2PE=1+$\sqrt{3}$，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）cm．
故答案为$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

②当P是$\widehat{AB}$中点时，DC=2OB=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
易知BD=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$cm，
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．