Question

16．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
（2）若该方程的两根分别是x₁，x₂，且3x₁-x₂=-2k-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2k-3）²≥0，由此可证出无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=2k+1①，结合3x₁-x₂=-2k-5②，可求出x₁=-1，将其代入原方程中即可求出k值．

解答 解：（1）∵在方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中，△=[-（2k+1）]²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
（2）∵方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0的两根分别是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2k+1①．
∵3x₁-x₂=-2k-5②，
∴由①+②，得4x₁=-4，
∴x₁=-1．
将x₁=-1代入原方程，得1+2k+1+4k-2=0，
解得：k=0．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=（2k-3）²≥0；（2）由x₁+x₂=2k+1①结合3x₁-x₂=-2k-5②，求出x₁=-1．