Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E和点F分别是AC和BC上的动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为（　　）

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，连接CB′交AD于P，连接BE，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA=PC，那么在Rt△CDP中，运用勾股定理求出PC的长，然后由cos∠B′CF=cos∠CPD，求出CF的长．

解答 解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，连接CB′交AD于P，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠PAC，
∵点B关于AC的对称点是B′，
∴∠PCA=∠BCA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=4-x．
在Rt△CDP中，∵PC²=PD²+CD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=2.5，
∵cos∠B′CF=cos∠CPD，
∴CF：B′C=DP：CP，
∴CF：4=1.5：2.5，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴B′F=$\sqrt{B′{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴BE+EF的最小值为=$\frac{16}{5}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点E，F的位置是解答此题的关键．