Question

9．（1）观察下列各式：3²-1²=8×1，5²-3²=8×2，7²-5²=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式；
（2）运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性；
（3）请用文字语言表达这个规律，并用这个规律计算：2017²-2015²．

Answer 1

分析 （1）观察提供的等式，然后找到规律写出来即可；
（2）将得到的规律用平方差公式展开计算即可进行验证；
（3）利用平方差公式展开计算即可．

解答 解：（1）第n个等式为（2n+1）²-（2n-1）²=8n（n为正整数）；
（2）验证：（2n+1）²-（2n-1）²=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]
=2×4n=8n；
（3）两个连续奇数的平方差是8的整数倍；
由2017²-2015²可知2n+1=2017，解得n=1008，
∴2017²-2015²=8×1008=8064．

点评 本题考查了因式分解的应用，能够了解因式分解的两种方法：提公因式法、公式法是解答本题的关键．