Question

20．计算：
（1）已知m=1+$\sqrt{3}$，n=1-$\sqrt{3}$，求代数式m²+2mn-n²的值；
（2）已知x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{10}$，求代数式x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先求得m+n，m-n以及mn的值，然后把所求的式子化成（m+n）（m-n）+2mn，代入求解即可；
（2）首先对x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{10}$进行平方求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，然后根据（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2求解．

解答 解：（1）∵m=1+$\sqrt{3}$，n=-1-$\sqrt{3}$，
∴m+n=2，m-n=2$\sqrt{3}$，mn=-2．
∴原式=（m+n）（m-n）+2mn
=2×2$\sqrt{3}$+2×（-2）
=4$\sqrt{3}$-4；
（2）∵x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{10}$，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=10，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=8，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2=8-2=6，
∴x-$\frac{1}{x}$=$±\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式的结构，对所求的式子进行变形是关键．