Question

5．根据图1的程序，得到了y与x的函数图象，如图2，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则下列结论：①x＜0时，y=$\frac{2}{x}$；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°．其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据题意得到当x＜0时，y=-$\frac{2}{x}$，当x＞0时，y=$\frac{4}{x}$，设P（a，b），Q（c，d），求出ab=-2，cd=4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-2，cd=4得到MQ=2PM；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．

解答 解：①、x＜0，y=-$\frac{2}{x}$，∴故此选项①错误；
②、当x＜0时，y=-$\frac{2}{x}$，当x＞0时，y=$\frac{4}{x}$，
设P（a，b），Q（c，d），
则ab=-2，cd=4，
∴△OPQ的面积是$\frac{1}{2}$（-a）b+$\frac{1}{2}$cd=3，∴故此选项②正确；
③、x＞0时，y=$\frac{4}{x}$=4•$\frac{1}{x}$，y随x的增大而减小，故此选项③错误；
④、∵ab=-2，cd=4，∴故此选项④正确；
⑤设PM=-a，则OM=-$\frac{2}{a}$．则P0²=PM²+OM²=（-a）²+（-$\frac{2}{a}$）²=（-a）²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
QO²=MQ²+OM²=（-2a）²+（-$\frac{2}{a}$）²=4a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
当PQ²=PO²+QO²=（-a）²+$\frac{4}{{a}^{2}}$+4a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$=5a²+$\frac{8}{{a}^{2}}$=9a²
整理得：$\frac{8}{{a}^{2}}$=4a²
∴a⁴=2，
∵a有解，
∴∠POQ=90°可能存在，故此选项⑤正确；
正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．

点评 本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．