Question

20．如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$
• B． 2
• C． 4$\sqrt{2}$-4
• D． $\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据已知条件得到AD=CD，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，设CD=x，BD=y，得到$\frac{2}{x+y}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{x}{4}$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{xy+{y}^{2}=4}\\{4y=2x}\end{array}\right.$即可得到结论．

解答 解：∵△ACD是以AC为底的等腰三角形，
∴AD=CD，
∵△BCD与△BAC相似，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，
设CD=x，BD=y，
∴$\frac{2}{x+y}$=$\frac{y}{2}$=$\frac{x}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy+{y}^{2}=4}\\{4y=2x}\end{array}\right.$，
解得：x=2y，
∴y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到方程组是解题的关键．