在△DEF中.DE=DF.点B在EF边上.且∠EBD=60°.C是射线BD上的一个动点.在射线BE上截取BA=BC.连接AC．(1)当点C在线段BD上时.①若点C与点D重合.请根据题意补全图1.并直接写出线段AE与BF的数量关系为AE=BF,②如图2.若点C不与点D重合.请证明AE=BF+CD,(2)当点C在线段BD的延长线上时.用等式表示线段AE.BF.CD之间的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为AE=BF；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．

分析（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，由邻补角的性质得到∠EAD=∠FBD=120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG=BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG=CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE=BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE=BF，AG=CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．

解答解：（1）①如图1，∵BA=BC，∠EBD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠EAD=∠FBD=120°，
∵DE=DF，
∴∠E=∠F，
在△AEC与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EAD=∠FBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；

②证明：在BE上截取BG=BD，连接DG，
∵∠EBD=60°，BG=BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG=CD，
∵DE=DF，∴∠E=∠F．
又∵∠DGB=∠DBG=60°，
∴∠DGE=∠DBF=120°，
在△DGE与△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EGD=∠FBD}\\{DG=BD}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△DBF，
∴GE=BF，
∴AE=BF+CD；

（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=EG-AG；
∴AE=BF-CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE=BF，AG=CD，
∴AE=AG-EG；
∴AE=CD-BF．