Question

8．已知，AG是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AG交⊙O于点C，连接AO并延长交BC于点M
（Ⅰ）如图1，若BC=10，求BM的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，过点C作CD∥AB交AG于点D，AM的延长线交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得出AG⊥AM，由BC∥AG，得出AM⊥BC，由垂径定理即可得出结果；
（2）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论．

解答 （1）解：∵AG是⊙O的切线，
∴AG⊥AM，
∵BC∥AG，
∴AM⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=5；
（2）证明：如图所示，过C点作直径CE，连接EB．
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．