题目内容
13．设a1=32-12，a2=52-32，a3=72-52…，容易知道a1=8，a2=16，a3=24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以a1，a2，a3都能被8整除．（1）试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数．
分析 （1）由题意，an是相邻俩奇数2n+1、2n-1的平方差，化简结果是8的倍数，可整除；
（2）由an=8n找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．
解答 解：（1）由题意得：
$\begin{array}{l}{a_n}={（2n+1）^2}-{（2n-1）^2}\\ \;\;\;\;=4{n^2}+4n+1-（4{n^2}-4n+1）\\ \;\;\;\;=8n\end{array}$
∴an能被8整除．
（2）由（1）知an=8n，
当n=2时，${a}_{2}=16={4}^{2}，是完全平方数$；
当n=8时，${a}_{8}=64={8}^{2}，是完全平方数$；
当n=18时，${a}_{18}=144=1{2}^{2}，是完全平方数$；
当n=32时，${a}_{32}=256=1{6}^{2}，是完全平方数$．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由a2、a8、a18、a32四个完全平方数可知n=2×m2，
所以n为一个完全平方数两倍时，an是完全平方数．
点评 本题主要考查了数字的变化规律，利用代数式来表示一般规律，利用已总结的规律进一步探索、发现、归纳得出下一步结论是本题难点．
练习册系列答案
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