如图.在四边形ABCD中.已知AB=BC=CD.∠BAD和∠CDA均为锐角.点F是对角线BD上的一点.EF∥AB交AD于点E.FG∥BC交DC于点G.四边形EFGP是平行四边形.给出如下结论:①四边形EFGP是菱形,②△PED为等腰三角形,③若∠ABD=90°.则△EFP≌△GPD,④若四边形FPDG也是平行四边形.则BC∥AD且∠CDA=60°．其中正确的结论的序号是①③④(把所有正确结论的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点F是对角线BD上的一点，EF∥AB交AD于点E，FG∥BC交DC于点G，四边形EFGP是平行四边形，给出如下结论：
①四边形EFGP是菱形；
②△PED为等腰三角形；
③若∠ABD=90°，则△EFP≌△GPD；
④若四边形FPDG也是平行四边形，则BC∥AD且∠CDA=60°．
其中正确的结论的序号是①③④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

分析 ①根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$，即可证得EF=FG，从而证得四边形EFGP是菱形；
②因为无法证得△PDG是等边三角形，所以PD不一定等于PE，则△PED不一定是等腰三角形；
③证PG⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠FGP=∠DGP，进而求得∠DGP=∠PEF，然后根据SAS可证△EFP≌△GPD；
④由FG∥PE，FG∥PD知，点P在AD上，故BC∥AD．又由FG=PG=PD=DG．证得△PDG是等边三角形，故∠CDA=60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°

解答解：∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{DB}$，
∵FG∥BC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{DF}{DB}$，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$，
∵AB=BC，
∴EF=EG，
∵四边形EFGP是平行四边形，
∴四边形EFGP是菱形，故①正确；
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵FG∥BC，
∴∠DBC=∠DFG，
∴∠DFG=∠BDC，
∴FG=DG，
∵PG=FG=PE，
∴PG=DG，
∵无法证得△PDG是等边三角形，
∴PD不一定等于PE，
∴△PED不一定是等腰三角形，故②错误；
∵∠ABD=90°，PG∥EF，
∴PG⊥BD，
∵FG=DG，
∴∠FGP=∠DGP．
∵四边形EFGP是平行四边形，
∴∠PEF=∠FGP．
∴∠DGP=∠PEF．
在△EFP和△GPD中
$\left\{\begin{array}{l}{EF=PG}\\{∠PEF=∠PGD}\\{PE=DG}\end{array}\right.$
∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正确；
∵四边形FPDG也是平行四边形，
∴FG∥PD，
∵FG∥EP，
∴E、P、D在一条直线上，
∵FG∥BC∥PE，
∴BC∥AD，
∵四边形FPDG也是平行四边形，
∵FG=PD，
∵FG=DG=PG，
∴PG=PD=DG，
∴△PGD是等边三角形，
∴∠CDA=60°．
∴四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．故④正确．
故答案为①③④．