Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的剧烈为碟高．
（1）抛物线y=x²对应的碟宽为2；抛物线y=$\frac{1}{2}$x²对应的碟宽为4；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为$\frac{2}{a}$；抛物线y=a（x-3）²+2（a＞0）对应的碟宽为$\frac{2}{a}$；
（2）利用图（1）中的结论：抛物线y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）对应的碟宽为6，求抛物线的解析式．
（3）将抛物线y_n=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3，…），定义F₁，F₂，…..F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n-1的相似比为$\frac{1}{2}$，且F_n的碟顶是F_n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．
①求抛物线y₂的表达式；
②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n．则h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，F_n的碟宽右端点横坐标为3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据碟宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（2）利用（1）中结论碟宽为$\frac{2}{a}$，列出方程即可解决问题．
（3）①由F₂的碟宽：F₁的碟宽=1：2，即$\frac{2}{{a}_{2}}$：$\frac{2}{{a}_{1}}$=1：2，由a₁=$\frac{1}{3}$，可得a₂=$\frac{2}{3}$，再求出y₂的顶点坐标即可解决问题．
②先求出h₁，h₂，…，B₁，B₂，…的横坐标，探究规律后即可解决问题．

解答 解：（1）根据碟宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．
①把B（m，m）代入y=x²，得到m=1或0（舍弃），
∴A（-1，1），B（1，1），
∴AB=2，即碟宽为2．
②把B（m，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²，得到m=2或0（舍弃），
∴A（-2，2），B（2，2），
∴AB=4，即碟宽为4．
③把B（m，m）代入y=ax²，得到m=$\frac{1}{a}$或0（舍弃），
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，即碟宽为$\frac{2}{a}$．
④根据碟宽的定义以及等腰直角三角形的性质，碟宽的大小与顶点的位置无关，所以$\frac{2}{a}$．
故答案分别为2，4，$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$．

（2）由（1）可知碟宽为$\frac{2}{a}$=6，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

（3）①∵y₁=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3的碟宽AB在x轴上，（A在B左边），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴抛物线y₂的顶点坐标为（2，0），
∵F₂的碟宽：F₁的碟宽=1：2，
∴$\frac{2}{{a}_{2}}$：$\frac{2}{{a}_{1}}$=1：2，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线y₂的解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-2）²．

②∵h_n：h_n-1=1：2，h₁=3，
∴h₂=$\frac{3}{2}$，h₃=$\frac{3}{{2}^{2}}$，h₄=$\frac{3}{{2}^{3}}$，…，h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
点碟宽右端点B的 横坐标，B₁的横坐标3，B₂的横坐标为3+$\frac{3}{2}$，B₃的横坐标为3+$\frac{3}{{2}^{2}}$，B₄的横坐标为3+$\frac{3}{{2}^{3}}$，…B_n的横坐标为3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
故答案为$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查二次函数综合题，等腰直角三角形的性质、“准碟形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考压轴题．