Question

10．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OF}{BH}$，即可解决问题．

解答 解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．

∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=12，
∴HB=AB-AH=8，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
设⊙O与AB相切于F，连接OF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OF}{BH}$，
∴$\frac{10}{8\sqrt{5}}$=$\frac{OF}{8}$，
∴OF=2$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．