Question

2．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是$\frac{2}{5}$，则矩形ABCD的面积是（　　）

• A． $\frac{23}{5}$
• B． 5
• C． 6
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 易证△CFE∽△BEA，可得$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CE}{AB}$，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题．

解答 解：若点E在BC上时，如图

∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠AEB}\\{∠C=∠B=90°}\end{array}\right.$，∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CE}{AB}$，BE=CE=x-$\frac{5}{2}$，即$\frac{y}{x-\frac{5}{2}}=\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}$，
∴y=${\frac{2}{5}（x-\frac{5}{2}）}^{2}$，当y=$\frac{2}{5}$时，代入方程式解得：x₁=$\frac{3}{2}$（舍去），x₂=$\frac{7}{2}$，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=$\frac{5}{2}$，
∴矩形ABCD的面积为2×$\frac{5}{2}$=5；
故选B．

点评 本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．