Question

2．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAE与△PBC是相似三角形，则AP=$\frac{24}{7}$或2或6．

Answer 1

分析 设AP=x，则BP=8-x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 解：设AP=x，则BP=8-x，
当△PAE∽△PBC时，$\frac{AE}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{x}{8-x}$，
解得，x=$\frac{24}{7}$，
当△PAE∽△CBP时，$\frac{AE}{PB}$=$\frac{PA}{BC}$，即$\frac{3}{8-x}$=$\frac{x}{4}$，
解得，x=2或6，
故答案为：$\frac{24}{7}$或2或6．

点评 本题考查了相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．