Question

求代数式

x2+2x+2

+

x2-4x+13

的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：数形结合

分析：用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，于是问题转化为：在x轴上求一点C（x，0），使它到两点A（-1，1）和B（2，3）的距离和（CA+CB）最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．

解答：解：原式可化为：

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，
作出B点关于x轴的对称点B′（2，-3），连接AB′交x轴于点C，则AB′=AC+CB′为所要求的最小值．
设C点坐标为（x，0），过AB′两点的直线为y=kx+b（k≠0），
则

1=-k+b -3=2k+b

，
解得k=-

4

3

，b=-

1

3

，
故此一次函数的解析式为y=-

4

3

x-

1

3

，把C（x，0）代入得-

4

3

x-

1

3

=0，x=-

1

4

，
代入

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

=

(1- 1 4 )2+(0-1)2

+

(- 1 4 -2)2+(0-3)2

=

5

4

+

15

4

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查的是最短线路问题，把求代数式的最小值转化为最短线路问题，利用数形结合解答是解答此类问题的关键．