Question

9．已知：如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，点E是AC边上的一个动点（点E与点A、C不重合）．
（1）当a、b满足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整数解，试求△ABC的三边长；
（2）在（1）的条件得到满足的△ABC中，若设AE=m，则当m满足什么条件时，BE分△ABC的周长的差不小于2？

Answer 1

分析 （1）根据a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整数解，可以分别求得a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状；
（2）由题意可以得到关于m的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0，
∴a-8=0，b-6=0，
得a=8，b=6，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$
得，-4≤x＜11，
∵c是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整数解，
∴c=10，
∵a=8，b=8，c=10，6²+8²=10²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由题意可得，
|（AB+AE）-（BC+CE）|≥2，
即|（10+m）-（8+6-m）|≥2，
解得，m≥3或m≤1，
即当m≥3或m≤1时，BE分△ABC的周长的差不小于2．

点评 本题考查一元一次不等式组的应用，勾股定理的逆定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．