Question

10．如图，正方形ABCD中，AB=2，点E为BC边上的一个动点，连接AE，作∠EAF=45°，交CD边于点F，连接EF．若设BE=x，则△CEF的周长为4．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，接着利用“SAS”证明△EAG≌△EAF，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD，由此即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAG=∠EAF}\\{AG=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=2+2=4．
故答案为4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．