Question

4．已知，平面直角坐标系中的点A（a，1），t=ab-a²-b²（a，b是实数）
（1）若关于x的反比例函数y=$\frac{{a}^{2}}{x}$过点A，求t的取值范围．
（2）若关于x的一次函数y=bx过点A，求t的取值范围．
（3）若关于x的二次函数y=x²+bx+b²过点A，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（2）把点A的坐标代入一次函数解析式求得a=$\frac{1}{b}$；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围．
（3）把点A的坐标代入二次函数解析式求得以a²+b²=1-ab；然后利用非负数的性质得到t的取值范围．

解答 解：（1）把A（a，1）代入y=$\frac{{a}^{2}}{x}$得到：1=$\frac{{a}^{2}}{a}$，
解得a=1，
则t=ab-a²-b²=b-1-b²=-（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
因为抛物线t=-（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$的开口方向向下，且顶点坐标是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
所以t的取值范围为：t≤-$\frac{3}{4}$；

（2）把A（a，1）代入y=bx得到：1=ab，
所以a=$\frac{1}{b}$，
则t=ab-a²-b²=-（a²+b²）+1=-（b+$\frac{1}{b}$）²+3≤3，
故t的取值范围为：t≤3；

（3）把A（a，1）代入y=x²+bx+b²得到：1=a²+ab+b²，
所以ab=1-（a²+b²），
则t=ab-a²-b²=1-2（a²+b²）≤1，
故t的取值范围为：t≤1．

点评 本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质．代入求值时，注意配方法的应用．