Question

4．如图，已知A，B两点的坐标分别是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），直线AB与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）连接OD，求△COD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据A，B两点的坐标分别是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），可以求得直线AB的解析式，根据直线AB与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（-1，a），可以求得点D的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式；
（2）根据直线AB与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（-1，a），可以求得点C的坐标，由图可知△COD的面积等于△DOB与△OBC的面积之和，本题得以解决．

解答 解：（1）设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，
∵A，B两点的坐标分别是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
即直线AB的解析式为y=$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，
将x=-1代入y=$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，得y=3$\sqrt{3}$，
∴点D的坐标为（-1，3$\sqrt{3}$），
∵点D在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴$3\sqrt{3}=\frac{m}{-1}$，
解得，m=-3$\sqrt{3}$，
即反比例函数的解析式是$y=\frac{-3\sqrt{3}}{x}$；
（2）连接OD，如右图所示，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{-3\sqrt{3}}{x}}\\{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴点C的坐标是（3，$-\sqrt{3}$），
∵点D的坐标是（-1，3$\sqrt{3}$），点B的坐标是（2，0），
∴S_△COD=S_△DOB+S_△OBC=$\frac{2×3\sqrt{3}}{2}+\frac{2×\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
即△COD的面积是4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．