Question

19．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A=60°．
（1）求∠HEF的度数；
（2）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（3）若AB=6，设AE=x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？

Answer 1

分析 （1）根据菱形ABCD的性质和∠A=60°得出∠D=120°，从而得出∠HEF的度数；
（2）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGF=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（3）利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵BE=BF=DG=DH，
∴AE=AH，
∵∠A=60°，
∴△AEH为等边三角形，
∴∠AEH=60°，∠BEF=30°，
∴∠HEF=90°；
（2）证明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=30°，
同理，∠CGF=60°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（3）∵AB=6，∠A=60°，AE=x，
∴EH=x，
则EF=$\sqrt{3}$（6-x），
则矩形EFGH的面积S=EH•EF=x•$\sqrt{3}$（6-x）=-$\sqrt{3}$x²+6$\sqrt{3}$x，
则当x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{6\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}$=3时，函数有最大值．
∴当x为3时，四边形EFGH的面积最大．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．