Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．

解答 解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8-t，
解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；

（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$=8-t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；

（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，
面积为：4×8-2×$\frac{1}{2}$×3×4=20（cm²）．

点评 本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．