Question

14．如图，点E是矩形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AEF，点F在矩形ABCD内部，延长AF交BC于G．
（1）若$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{5}$，求$\frac{AD}{AB}$的值；
（2）若$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{k}$，直接写出$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{1+k}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设CG=a，BG=5a，先证明△EGF≌△EGC，利用勾股定理求出线段AB即可．
（2）设GC=a，BG=ak，方法类似（1）求出AB即可．

解答 解：（1）如图连接EG．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠C=∠B=∠ADC=90°
∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴AD=AF，DE=EF=EC，∠ADE=∠AFE=∠EFG=90°，
在RT△EGF和RT△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EG}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴GF=GC，
∵CG：BG=1：5，
设CG=FG=a，BG=5a，则BC=AD=AF=6a，AG=AF+FG=7a，
在RT△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{（7a）^{2}-（5a）^{2}}$=2$\sqrt{6}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{6a}{2\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（2）由（1）可知设CG=FG=a，BG=ak，则AD=BC=（1+k）a，AG=（2+k）a，AB=2a$\sqrt{1+k}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{（1+k）a}{2a\sqrt{1+k}}$=$\frac{\sqrt{1+k}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{1+k}}{2}$．

点评 本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据条件设未知数求出相应的线段，属于中考常考题型．