Question

10．（1）已知点P为线段AB上一点如图1，射线PM⊥AB，用直尺和圆规在PM上找一点C，使得PC²=AP•PB
（2）如图2，平行四边形ABCD中，DP⊥AB于P，PD²=AP•PB，△BCD的面积和周长均为24，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理结合相似三角形的判定与性质得出C点即可；
（2）将等积式PD²=AP•PB化为等比式，可得到△DAP∽△BDP，设AD=a，BD=b，AB=c，列出方程组即可解答．

解答 解：（1）如图所示：作AB的垂直平分线，以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB为半径作圆，射线PM交⊙O于点C，C点即为所求．


（2）∵PD²=AP•PB，
∴PD：AP=PB：PD，
又∵DP⊥AB于P，
∴∠DPA=∠DPB，
∴△DAP∽△BDP，
∴∠ADB=90°，
设AD=a，BD=b，AB=c，
由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b+c=24}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，AB=c=10，
∵$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$AD•DB=$\frac{1}{2}$×48=24，
∴PD=4.8．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，找到△DAP∽△BDP并利用相似三角形的性质找到相等的直角是解题的关键．