Question

19．我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形：
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．

Answer 1

分析 用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．

解答 解：∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠CAB=∠DBE．
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∴∠ABE=180°-90^o=90^o．
∴△ABE是一个等腰直角三角形，S_△ABE=$\frac{1}{2}$c²．
又∵S_梯形ACDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
S_梯形ACDE=S_△ABC+S_△BDE+S_△ABE=ab+$\frac{1}{2}$c²．
∴$\frac{1}{2}$（a+b）²=ab+$\frac{1}{2}$c²，
即a²+b²=c²．
由此验证勾股定理．

点评 此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2证明勾股定理．