Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上一点，DE∥AB，AE∥BC，DE分别交AC、AE于点O和E，连接AD、CE．
（1）试说明△ABD≌△DEA；   
（2）AD=CE吗？为什么？
（3）OD=OC吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先根据两直线平行，得出内错角相等，再判定△ABD≌△DEA；
（2）先判定四边形AECD是梯形，再根据其对角线相等，判定四边形AECD是等腰梯形，即可得出结论；
（3）先判定△ABC是等腰直角三角形，再得出∠CDE=∠BCA=45°，最后根据等角对等边得出结论．

解答 解：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，
∴∠EDA=∠BAD，∠EAD=∠BDA，
在△ABD和△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠BAD}\\{AD=DA}\\{∠EAD=∠BDA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DEA（ASA）；

（2）AD=CE．
理由：∵AE∥DC，AD与EC不平行，
∴四边形AECD是梯形，
∵△ABD≌△DEA，
∴AB=ED，
又∵AB=AC，
∴AC=ED，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AD=CE；

（3）OD=OC．
理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BCA=45°，
∵DE∥AB，
∴∠CDB=∠B=45°，
∴∠CDE=∠BCA=45°，
∴CO=DO．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边或公共角．