Question

2．在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）、B（4，1）、C（2，3），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（-1，3）或（5，3）或（3，-1）．

Answer 1

分析 在平面直角坐标系中描出A、B、C三个点，分AB为边和AB为对角线分别求出D点坐标，当AB为边时，过C作CD∥AB，且CD=AB，可求得D点坐标，当AB为对角线时，过B作BD∥AC，

解答 解：
①当AB为四边形的边时，过C作CD∥AB，如图1，

∵A（1，1），B（4，1），
∴AB=3，
∵四边形为平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵C（2，3），
∴可设D点坐标为（x，3），
∴|x-2|=3，解得x=5或x=-1，
此时D点坐标为（-1，3）或（5，3）；
②当AB为四边形的对角线时，过B作BD∥AC，使BD=AC，则D点即为所求，如图2，
又由①可知在AB上方的点即为（5，3），只需求在AB下方的点即可，
过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AB于点F

∵AC∥BC，
∴∠A=∠DBE，
在△ACF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBE}\\{∠AFC=∠DEB}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△BDE（AAS），
∴DE=CF，AF=BE，
∵A（1，1），C（2，3），B（4，1），
∴DE=CF=2，AE=4-AF=4-1=3，
∴D点坐标为（3，-1），
综上可知D点坐标为（-1，3）或（5，3）或（3，-1），
故答案为：（-1，3）或（5，3）或（3，-1）．

点评 本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，利用条件先确定出D点的位置是解题的突破口．