Question

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，点Q是CA边上一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小．根据角的计算找出∠MBN=∠ACO，∠COA=∠BNM=90°，从而得出△COA∽△BNM，再根据相似三角形的性质结合点A、B、C的坐标即可得出点M的坐标．

解答 解：（1）将点A（-3，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+4中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+4}\\{0=16a+4b+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4．
（2）设抛物线对称轴于x轴交点为N，过点B作BQ⊥AC于点Q，交抛物线对称轴于点M，此时MQ+MA的值最小，如图所示．
令y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4中x=0，则y=4，
∴点C（0，4），
∵A（-3，0），B（4，0），
∴AC=5，AO=3，CO=4，BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{7}{2}$，ON=OB-BN=$\frac{1}{2}$．
∵∠CAO=∠BAC，∠ACO+∠CAO=90°，∠MBN+∠BAC=90°，
∴∠MBN=∠ACO，
∵∠COA=∠BNM=90°，
∴△COA∽△BNM，
∴$\frac{MN}{BN}=\frac{AO}{OC}$，
∴MN=$\frac{21}{8}$，
∴点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）．
故当点M的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）时，MQ+MA的值最小．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析、轴对称中的最短路线问题以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用点与直线之间垂线段最短确定点M的位置是关键．