Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，则sin∠OAB的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为r，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据切线的性质得OD=OE=OF=r，易得四边形CEOF为正方形，所以CE=CF=r，则利用切线长定理得到AE=AD=4-r，BF=BD=3-r，所以4-r+3-r=5，解得r=1，于是得到AD=3，然后计算出OA后利用正弦的定义求解．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为r，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=r，
∴四边形CEOF为正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AD=4-r，BF=BD=3-r，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AD=3，
在Rt△AOD中，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选C．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理和切线的性质．