Question

3．如图所示，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D．若AB=8，AC=6，则AD的长是$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 过点C作CM⊥AD于点M，延长CM交AB于点E，过点E作EF∥AD交BC于点F，则△ACE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AM、BE的长度，设DM=x，则EF=2x，再根据平行线的性质即可得出$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，代入数据解分式方程即可得出x值，将其代入AD=AM+DM中即可求出AD的长度．

解答 解：过点C作CM⊥AD于点M，延长CM交AB于点E，过点E作EF∥AD交BC于点F，如图所示．
∵∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D，AB=8，AC=6，
∴△ACE为等边三角形，BE=AB-AC=2，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．
设DM=x，则EF=2x，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AD}$，即$\frac{2}{8}=\frac{2x}{3\sqrt{3}+x}$，
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
经检验，x=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$是原方程的解，
∴AD=AM+DM=$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．
故答案为：$\frac{24\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质以及解分式方程，通过解分式方程求出DM的长度是解题的关键．