Question

17．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论中正确的结论有（　　）
①$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1}{3}$；②AE²=AD•AF；③△ADF≌△ABE；④图中有3对相似三角形．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题中结论．

解答 解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CF}{BE}$，
∵E是BC的中点，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{DF}$$\frac{1}{3}$，故①正确；
由△CEF∽△BAE可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AB}{BE}$，
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴AE²=AB•AF，
∵AD=AB，
∴AE²=AD•AF，故②正确；
∵$\frac{AB}{BE}$=2，$\frac{AD}{DF}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{BE}$$≠\frac{AD}{DF}$，
∴△ADF与△ABE不全等，故③错误；
由以上证得△CEF∽△BAE，△ABE∽△AEF，
∴△CEF∽△AEF，故④正确．
故选C．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，其中又涉及正方形的一些性质问题，能够熟练掌握这些定理是解题的关键．