Question

18．已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右作正方形CDEF，连结BF．若S_△OBC=8，AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断线段BF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）当D点沿x轴正方向由点O移动到点B时，点E也随着运动，求点E所走过的路线长．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴，则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）由（2）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC的长度．

解答 解：（1）由AC=BC，可知此抛物线的对称轴是y轴，
即b=0，
所以C（0，c）、B（$\sqrt{4c}$，0），
由S_△OBC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=8，
得c=4，
抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4；

（2）BF⊥AB，
理由：由（1）得C（0，4）、B（4，0），
所以∠ACB=2∠OCB=2×45°=90°，
在△ADC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BFC（SAS），
∴∠FBC=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）作EM⊥x轴，交x轴于点M，
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠MDE+∠DEM=90°，
∴∠ODC=∠DEM，
在△ODC和△MED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠DNE}\\{∠ODC=∠DEM}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△ODC≌△MED（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
又∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM，
∵∠FMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°，
∴∠FBE=45°，
∴点E所走过的路线长等于BC=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形和等腰直角三角形的性质，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（3）中弄清点E所走过的路程是解题的关键．