Question

12．如图，将四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF，若AE∥CF且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC⊥EF，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据SAS可证△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定即可求解．

解答 证明：（1）∵AE∥CF，
∴∠E=∠F，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠E=∠F}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥EF，即AC⊥DB，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握平行四边形的判定、菱形的判定方法和全等三角形的判定方法．