Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠；若点E是BC边的中点，点B落在点F处，连接CF．
（1）求证：AE∥CF．
（2）求Sin∠ECF的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用翻折变换的性质得出FE=BE，∠BEA=∠FEA，进而得出∠ECF=∠BEA，即可得出答案；
（2）首先求出AE的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

解答 （1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=EC，
由翻折的性质可得：FE=BE，∠BEA=∠FEA，
∴FE=EC，
∴∠EFC=∠FCE，
∵∠CFE+∠FCE=∠BEA+∠AEF，
∴2∠ECF=2∠BEA，
∴∠ECF=∠BEA，
∴AE∥CF；

（2）解：在Rt△ABE中，∵AB=5，BE=4，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=41，
则isn∠ECF=sin∠BEA=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{5}{\sqrt{41}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．