Question

7．如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF、BE．

（1）请判断AF与BE的关系并给予证明；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明△BAE≌△ADF，根据全等三角形的性质进行证明；
（2）根据边边边定理、边角边定理证明三角形全等，根据全等三角形的性质解答；
（3）与（2）的证明方法相似，证明即可．

解答 解：（1）AF=BE；AF⊥BE．理由如下：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，
∵△ADE和△DCF是等边三角形，
∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，
∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）第（1）问中的结论仍然成立，其理由如下：如图2所示：
在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD．
∵EA=ED=FD=FC，
在△AED和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．
即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．
（3）所画图形如图3，第（1）问的结论成立，理由如下：
在△AED和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．

点评 本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．