Question

6．如图，已知A，B两点都在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$位于第二象限内的图象上，且△OAB为等边三角形，则△OAB的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$cm²
• B． 6$\sqrt{3}$cm²
• C． 8$\sqrt{3}$cm²
• D． 12$\sqrt{3}$cm²

Answer 1

分析 设点A的坐标为（m，-$\frac{8}{m}$），点B的坐标为（n，-$\frac{8}{n}$），根据等边三角形的性质即可得出OA=OB=AB，即$\sqrt{{m}^{2}+\frac{64}{{m}^{2}}}$=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{64}{{n}^{2}}}$=$\sqrt{（m-n）^{2}+（\frac{8}{n}-\frac{8}{m}）^{2}}$，解之即可得出m²+$\frac{64}{{m}^{2}}$=32，再根据三角形的面积公式即可求出S_△OAB的值，此题得解．

解答 解：设点A的坐标为（m，-$\frac{8}{m}$），点B的坐标为（n，-$\frac{8}{n}$），则m＜0，n＜0．
∵△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB，即$\sqrt{{m}^{2}+\frac{64}{{m}^{2}}}$=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{64}{{n}^{2}}}$=$\sqrt{（m-n）^{2}+（\frac{8}{n}-\frac{8}{m}）^{2}}$，
∴mn=8，m²+$\frac{64}{{m}^{2}}$=32．
∴S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$OA²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+$\frac{64}{{m}^{2}}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×32=8$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据等边三角形的性质找出m²+$\frac{64}{{m}^{2}}$=32是解题的关键．