Question

11．如图，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切线，OE交弧BD于点M，点C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，连接CM．若BC=1，则AB=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．

Answer 1

分析 连接BM，如图，根据切线的性质得∠OBE=90°，再判断△CME为等腰直角三角形，则CE=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$，所以BE=$\sqrt{2}$+1，于是得到OD=OB=BE=$\sqrt{2}$+1，然后在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OA=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1），最后计算OB-OA即可．

解答 解：连接BM，如图，
∵EB为切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∵∠BOE=45°，
∴∠E=45°，
∴△CME为等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$+1，
∴OB=BE=$\sqrt{2}$+1，
∴OD=$\sqrt{2}$+1，
在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）
∴AB=OB-OA=$\sqrt{2}$+1-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．
故答案为$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的性质．