Question

17．已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）在（1）的条件下，AB＜AC，动点P从C出发以1cm/s的速度向A运动，动点Q从A出发以2cm/s的速度向B运动．
①t为何值时，S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC？
③t为何值时，△APQ 与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得到AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，根据勾股定理列出方程，解方程求出k，把k代入原方程检验即可；
（2）①根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
②分△AQP∽△ABC和△APQ∽△ABC两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）由根与系数的关系得：AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB²+AC²=BC²=5²=25
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
化简得：k²+3k-10=0
解得  k₁=2，k₂=-5
当k=2时，方程为x²-7x+12=0，
AB、AC两边为3，4；
当k=-5时，方程为x²+7x+12=0，
AB、AC两边为-3，-4；不合题意，舍去．
综上：当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）①∵AB＜AC，
∴AB=3，AC=4，
则CP=t，AQ=2t，
由题意得，$\frac{1}{2}$×2t×（4-t）=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}$×3×4，
整理得，t²-4t+3=0，
解得，t₁=1，t₂=3，
答：当t为1或3时，S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
②当$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{2t}{3}$=$\frac{4-t}{4}$时，△AQP∽△ABC，
解得t=$\frac{12}{11}$，
当$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{2t}{4}$=$\frac{4-t}{3}$时，△APQ∽△ABC，
解得，t=$\frac{8}{5}$，
答：当t=$\frac{12}{11}$或$\frac{8}{5}$时，△APQ 与△ABC相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用一元二次方程的相关知识是解题的关键．