Question

14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在射线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）填空：∠CAM=30度；
（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，如图①，求∠CBE的度数；
（3）当点D在AM延长线上时，如图②．
①试求出∠CBE的度数；
②求当∠ACE为多少度时，点B、D、E在一条直线上．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）由△ABC与△CDE是等边三角形，得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）①由△ABC与△CDE是等边三角形，得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图③，根据三角形的内角和和等边三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}∠$BAC=30°，
故答案为：：30；
（2）∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°；
（3）①∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°；
②如图③，当∠ACE=150°时，点B、D、E在一条直线上，
由①知∠CBE=30°，∠E=60°，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=150°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．