Question

3．已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是MN⊥EC，MN与EC的数量关系是MN=$\frac{1}{2}EC$．
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（3）若把（1）小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理，结合等腰直角三角形性质即可直接得出结论；
（2）连接EM并延长交BC于F，证明△EDM≌△FBM，运用线段的等量代换即可求解；
（3）延长ED交BC于点F，连接AF、MF，结合矩形的性质和等腰直角三角形性质，合理运用角的等量代换即可求解．

解答 解：（1）MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC；
由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，
可知，AE=BE=EC，DE⊥AB，
∵点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$BE，
∴MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC；
（2）如图2

连接EM并延长交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF，
又BM=MD，
在△EDM和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠AFM}\\{∠EDM=∠MBF}\\{BM=MD}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FBM，
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（BC-BF）=$\frac{1}{2}$（AC-AF）=$\frac{1}{2}$EC，
且MN⊥EC；
（3）如图3

延长ED交BC于点F，连接AF、MF，则AF为矩形ACFE对角线，所以必经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC．
在Rt△BDF中，M是BD的中点，∠B=45°，
∴FD=FB，
∴FM⊥AB，
∴MN=NA=NF=NC，
即MN=$\frac{1}{2}$EC，
∴∠NAM=∠AMN，∠NAC=∠NCA，
∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM，∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC，
∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2（∠NAM+∠NAC）=2∠DAC=90°，
∴∠MNC=90°，
即MN⊥EC且MN=$\frac{1}{2}$EC．

点评 此题主要考查集几何变换，熟悉全等三角形的证明和矩形的性质，会灵活运用等腰直角三角形的性质进行解题，能抓住在图形变换中的不变关系是解题的关键．