Question

15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=8，AD=6，E在边CD上，AE与BD相交于点F，∠EAD=∠ABD．
（1）求证：△ADE∽△BAD；
（2）当BF=9时，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得梯形ABCD为等腰梯形，所以∠BAD=∠ADC，又因为∠EAD=∠ABD，所以可证明△ADE∽△BAD；
（2）延长AE交BC的延长线为G，由△ADF∽△BDA，利用相似的性质可求出DF=3，由△ADE∽△BAD，利用相似三角形的性质可求出DE=4.5，再根据平行线分线段成比例定理即可求出BC的长．

解答 （1）证明：∵AB=CD，AD∥BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC，
∵∠EAD=∠ABD，∠ADC=∠BAD，
∴△ADE∽△BAD；
（2）解：延长AE交BC的延长线为G，
∵△ADF∽△BDA，
∴DF：AD=AD：BD，
∴DF：6=6：（DF+9），
∴DF=3，
∵△ADE∽△BAD，
∴DE：AD=AD：AB，
∴DE：6=6：8，
∴DE=4.5，
∵CD=8
∴DE：CE=4.5：（8-4.5）=9：7，
∵AD∥BG，
∴AD：CG=DE：CE，
∴6：CG=9：7，
∴CG=$\frac{14}{3}$，
∵AD∥BG
∴AD：BG=DF：BF，
∴6：（BC+$\frac{14}{3}$）=3：9，
∴BC=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了相似形的综合题，用到的知识点有等腰梯形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是正确作出图形的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答．