Question

12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+5$经过点C（2，3），直线y=kx+b与抛物线相交于A、B两点，∠ACB=90°

（1）探究与猜想
①探究：
取点B（6，-13）时，点A的坐标为（$-\frac{5}{2}$，$\frac{15}{8}$），直接写出直线AB的解析式y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$；取点B（4，-3），直接写出AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$
②猜想：
我们猜想直线AB必经过一个定点Q，其坐标为（-2，1）．请取点B的横坐标为n，验证你的猜想；
友情提醒：此问如果没有解出，不影响第（2）问的解答
（2）如图2，点D在抛物线M上，若AB经过原点O，△ABD的面积等于△ABC的面积，试求出一个符合条件的点D的坐标，并直接写出其余的符合条件的D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）①先求出点A坐标，再根据待定系数法即可解决问题．
②猜想直线AB必经过定点Q（-2，1），设A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），过点C作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、P，
由∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，得$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，得出m、n的关系，再联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，利用根与系数关系解决问题．
（2）①当CD∥AB时，△ABD的面积等于△ABC的面积，点D符合条件．
②求出直线CD与y轴的交点E，点E关于x轴的对称点F（0，-4），过点F平行AB的直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，此时直线与抛物线的交点满足条件，利用方程组即可解决问题．

解答 解：（1）①设直线AB为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=-13}\\{-\frac{5}{2}k+b=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{7}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，
∵B（4，-3），C（2，3），
∴直线边长为y=-3x+9，
∵AC⊥BC，
∴直线AC为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（-$\frac{8}{3}$，$\frac{13}{9}$），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
故答案分别为y=-$\frac{7}{4}$x-$\frac{5}{2}$，y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
②猜想直线AB必经过定点Q（-2，1），
验证如下：
设A（m，-$\frac{1}{2}$m²+5），B（n，-$\frac{1}{2}$n²+5），
过点C作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、P，
∵∠ACB=90°，△CAN∽△BCP，
∴$\frac{AN}{CN}$=$\frac{CP}{BP}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}-2}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}{m}^{2}-2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（n+2）（n-2）}{n-2}$=$\frac{2-m}{\frac{1}{2}（m+2）（m-2）}$，
∴（m+2）（n+2）=-4，
∴mn+2（m+n）+8=0，①
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$x²+kx+b-5=0，
∴m+n=-2k，mn=2b-10，②
将②代入①，得化简，得
b=2k+1，
∵直线AB的解析式为y=kx+2k+1，即y=k（x+2）+1，
直线AB经过定点（-2，1）
（3）当直线AB经过原点，其解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
当CD∥AB时，△ABD的面积等于△ABC的面积，点D符合条件．
此时，直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
则点D的横坐标是-$\frac{1}{2}$x²+5=-$\frac{1}{2}$x+4的根．
解得x₁=2，x₂=-1，其中x₁=2是点C的横坐标．
当x=-1时，y=$\frac{9}{2}$，
∴D（-1，$\frac{9}{2}$），
∵直线CD交y轴于E（0，4），点E关于x轴的对称点F（0，-4），
过点F平行AB的直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，此时直线与抛物线的交点满足条件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5}\\{y=-\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17+\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{73}}{2}}\\{y=-\frac{17-\sqrt{73}}{4}}\end{array}\right.$，
∴D点坐标分别为（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．
∴其余符合条件的D点坐标分别为（$\frac{1+\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17+\sqrt{73}}{4}$）和（$\frac{1-\sqrt{73}}{2}$，-$\frac{17-\sqrt{73}}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题、一次函数，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用平行线的性质，寻找面积相等的三角形，属于中考压轴题．