Question

1．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为$\sqrt{5}$，BP=2$\sqrt{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD=2OC，证明△OCB∽△OBP，得到$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，由已知设OC=t，则BC=2t，AD=2t．由△PBC∽△BOC，可得$\frac{EA}{EA+AP}$=$\frac{2}{5}$，进而求出AE的值．

解答 （1）证明：连接OA，如图1所示：
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，
∴PB=PA，
在△PBO和△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{OP=OP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵BC=AC，OB=OD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD=2OC，
∵∠OCB=∠PBO=90°，∠COB=∠BOP，
∴△OCB∽△OBP，
∴$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}$=$\frac{PC}{BC}$，即$\frac{2t}{t}$=$\frac{PC}{2t}$，
∴PC=4t，OP=5t．
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{2t}{5t}$=$\frac{2}{5}$，
即$\frac{EA}{EA+AP}$=$\frac{2}{5}$，
∵PA=PB=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{EA}{EA+2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
解得EA=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，作辅助线构建直角三角形是解题的关键．