Question

已知关于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线y=x²-（4m+1）x+3m²+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,二次函数图象与几何变换

专题：代数几何综合题,判别式法

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（2m+1）²≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法科得到x₁=3m+1，x₂=m，然后根据原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7列不等式组，然后解不等式组得到m的取值范围；
（3）先确定m=1，再把抛物线配成顶点式得y=x-

5

2

）²-

9

4

，然后确定A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），直线BC的解析式为y=-x+4，由于抛物线的对称轴为直线x=

5

2

，则求出直线x=

5

2

与x轴的交点和与直线BC的交点坐标即可得到n的范围．

解答：（1）证明：△=[-（4m+1）]²-4（3m²+m）
=4m²+4m+1
=（2m+1）²
∵（2m+1）²≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0得 x₁=3m+1，x₂=m，
由题意得  

3m+1＞2 m＜7.

或

3m+1＞7 m＜2.

，
解得 

1

3

＜m＜7；
（3）解：m=1，抛物线为y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=-x+4，
当x=

5

2

时，y=-x+4=

3

2

，
所以此抛物线向上平移

9

4

或（

9

4

+

3

2

）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
所以符合题意的n的取值范围是 

9

4

＜n＜

15

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次函数图象与几何变换．