题目内容
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，AB=6cm．点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，判断△APQ的形状（可直接写出结论）；
（2）是否存在时刻t，使△APQ与△CQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置．
（1）当t=1时，判断△APQ的形状（可直接写出结论）；
（2）是否存在时刻t，使△APQ与△CQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置．
考点：勾股定理,全等三角形的判定,等边三角形的判定
专题：几何综合题,动点型
分析：（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
解答：解：（1）△APQ是等边三角形，
理由是：∵t=1，
∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，
∵∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形；
（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，
理由如下：
∵t=1.5s，
∴AP=CP=1.5cm，
∵AQ=3cm，
∴AQ=AC．
又∵∠A=60°，
∴△ACQ是等边三角形，
∴AQ=CQ，
在△APQ和△CPQ中
∴△APQ≌△CPQ；
（3）在Rt△ABC中，BC=
=
=
，
由题意得：2t-t=AB+BC，
即t=6+
，
∴点P运动的路程是（6+
）cm，
∵3+6＜6+
＜3+6+
，
∴第一次相遇在BC边上，
又（9+
）-（6+
）=3，
∴经过（6+
）秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇．
理由是：∵t=1，
∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，
∵∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形；
（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，
理由如下：
∵t=1.5s，
∴AP=CP=1.5cm，
∵AQ=3cm，
∴AQ=AC．
又∵∠A=60°，
∴△ACQ是等边三角形，
∴AQ=CQ，
在△APQ和△CPQ中
|
∴△APQ≌△CPQ；
（3）在Rt△ABC中，BC=
| AB2-AC2 |
| 62-32 |
| 27 |
由题意得：2t-t=AB+BC，
即t=6+
| 27 |
∴点P运动的路程是（6+
| 27 |
∵3+6＜6+
| 27 |
| 27 |
∴第一次相遇在BC边上，
又（9+
| 27 |
| 27 |
∴经过（6+
| 27 |
点评：本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．
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