Question

观察下列各等式，并回答问题：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…
（1）填空：

1

n(n+1)

=

 

（n是正整数）
（2）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2004×2005

=

 

．
（3）若|ab-3|与|b-1|互为相反数，求

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

…+

1

(a+2010)(b+2010)

的值．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）将分式进行拆项即可求解；
（2）先拆项，再抵消即可求解；
（3）先根据非负数的性质得到a、b的值，再拆项抵消即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2004×2005

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2004

-

1

2005

=1-

1

2005

=

2004

2005

；
（3）∵|ab-3|与|b-1|互为相反数，
∴|ab-3|+|b-1|=0，
∴ab-3=0，b-1=0，
解得a=3，b=1，
∴

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

=

1

2

×（1-

1

2013

）
=

1

2

×

2012

2013

=

1006

2013

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2004

2005

．

点评：考查了有理数的混合运算，本题关键是熟练运用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．